Szerkesztő:Szőke Károly/Kiegészítés a gömbi geometriához

Gömbháromszög

Boyai - val ellentétben lehetnek a gömbháromszögek közt olyanok, amelyek kerülete éppen a gömbi főkör kerületével egyezik meg, tehát értéke 2 pi. Vegyük a szabályos tetraéder köré írható gömbön a csúcsokat összekötő szakaszokat, amelyek négy db egybevágó gömbháromszöget adnak. Ezek kerülete éppeb 2pi, és mivel területe is egyezik a gömbfelszín negyedével, a négy db gömbháromszög tulajdonképpen a gömböt alkotó négy egybevágó, a gömbével azonos sugarú körből adódik, annak felel meg. A gömbfelszínt kitevő - a gömbével azonos sugarú - négy db. kör gömbháromszögként feszül a gömb felszínére. Tehát a gömb terítéke ez a négy kör, amit úgy is megrajzolhatunk, hogy egyiket középre téve a másik három ezt érintő kört úgy vesszük fel, hogy a középpontjaikat összekötő egyenesek 120 fokos szöget zárjanak be egymással. Megjegyzem még, hogy mivel végtelen sok szabályos tetraédert rajzolhatok a gömbbe, a feladatnak végtelen sok megoldása létezik. De ha már egyiket kiválasztottuk, természetesen csakis négy db. kör adja ki a gömbfelszínt. Más is következik a fenti meglátásból, mégpedig az, hogy bármely test esetén a test felületét egész daradszámú ( a testnek megfelelő ) eggyel alcsonyabb dimenziójú megfelelője teszi ki. Pl. tetraéder esetén a felszínt négy db. háromszög, kocka esetén a felszínt 6 db. négyzet és mint itt láthatjuk, a gömb felszínét négy db. kör adja ki igaz, mire a gömbre feszülnek gömbháromszög alakot öltenek. Persze, hogy más görbe ( zárt ) test esetén is így van - e, azt nem tudom bebizonyítani.

– Karika^vita 2007. december 10., 19:34 (CET)

Kedves Karika!

A gömbi geometriában a főköröket szokás egyenesnek hívni, azaz azokat az köröket, amiket egy a gömb középpontján áthaladó sík metsz ki s gömbböl. Bolyai állítása olyan gömbi háromszögekre vonatkozik, amelyek oldalai főkörök. A te példádban szereplő háromoldalú gömbidom nem ilyen. ~~~~