Szerkesztő:05storm26/Faktorizációs tétel
A polinomfaktorizációs tétel az algebra egy tétele amely a polinom-maradék tétel egy speciális esete.[1]
A faktorizációs tétel azt állítja, hogy az polinomnak osztója akkor és csak akkor ha (vagyis ha egy gyöke az polinomnak)[2]
Polinomok faktorizációja[szerkesztés]
A tételt leggyakrabban polinomok faktorizációjánál és algebrai egyenletek megoldásánál alkalmazzák (mivel ezek a problémák lényegében ekvivalensek).
A tételt úgy alakalmazzák, hogy az ismert gyököket "kiemelik", így egy alacsonyabb fokú polinomot kell felbontani a többi gyök megtalálása érdekében (amely vélhetőleg könnyebb). A módszer leírható így:[3]
- "Tippelgetéssel" keressük meg az polinom egy gyökét, -t. (A valóságban általában ez a feladat nagyon nehéz, de a tankönyvi példák gyakran, úgy készülnek, hogy ez a lépés könnyen megoldható legyen.)
- A fenti tételt felhasználva állapítsuk meg, hogy osztója -nek.
- Számítsuk ki a polinomot például polinomosztással.
- Vegyük észre, hogy bármely megoldása, megoldása a egyenletnek. Mivel a polinom foka eggyel kissebb mint, -é, így a hátralévő megoldások megtalálását a kisebb fokú polinom gyökeinek megtalálására redukáltuk.
Példa[szerkesztés]
Faktorizáljuk a
polinomot. Ahhoz, hogy elinduljuk kezdésnek például próbálgatással megkeressük az első olyan x értéket amire a kifejezés helyettesítési értéke 0 (vagyis gyöke a polinomnak). Például ahhoz, hogy megtudjuk, hogy a fenti polinomnak a faktora-e (vagyis hogy maradék nélküli osztója-e), -et helyettesítünk a fenti polinomba:
Mivel a helyettesítési érték 18 és nem 0 ez azt jelenti, hogy nem faktora az -nek. Legyen a következő kísérletünk az (vagyis helyettesítsünk -et a polinomba):
Mivel az eredmény most , így , vagyis , osztója a polinomnak, pedig egy gyöke a polinomnak.
A másik két gyököt megtalálhatjuk ha elosztjuk polinomosztással -gyel és az így kapott másodfokú polinom gyökeit direkt módon (a másodfokú egyenlet megoldóképletével) megkeressük.
így és osztói a polinomnak.
Általánosan[szerkesztés]
Legyen egy egyváltozós polinom úgy, hogy az együtthatói egy kommutatív gyűrűből származnak és legyen . Ekkor akkor és csak akkor, ha valamely polinomra.
Ha adott egy polinom és minden gyökét meg kívánjuk találni és adott akkor kiszámítható polinomosztással, majd további gyökeit faktorizációjával kaphatjuk meg.
Források[szerkesztés]
- ↑ Sullivan, Michael (1996), Algebra and Trigonometry, Prentice Hall, p. 381, ISBN 0-13-370149-2.
- ↑ Sehgal, V K & Gupta, Sonal, Longman ICSE Mathematics Class 10, Dorling Kindersley (India), p. 119, ISBN 978-81-317-2816-1.
- ↑ Bansal, R. K., Comprehensive Mathematics IX, Laxmi Publications, p. 142, ISBN 81-7008-629-9.