Nullvektor

A nullvektor a matematikában a vektorterek egy speciális vektora, ami a vektorösszeadás neutrális eleme. Néhány példa nullvektorra: a nulla szám, a nullmátrix és a nullfüggvény. Skalárszorzatos vektorterekben a nullvektor minden vektorra ortogonális. Normált térben az egyetlen nulla normájú vektor. Egy lineáris tér minden altere tartalmazza a tér nullvektorát, ami önmagában is alteret alkot. A nullvektort használják a lineáris algebra több fontos fogalmának definiálásához, mint a lineáris függetlenség, bázis és magtér. Fontos szerepet játszik lineáris egyenletrendszerek megoldásában.

Definíció

Egy $V$ vektortér nullvektora az a $0_{V}\in V$ vektor, amire

$v+0_{V}=0_{V}+v=v$

minden $v\in V$ esetén. Tehát ez az elem a vektorok összeadásának neutrális eleme.

A nullvektor jelölése

A magyar szakirodalomban a nullvektor jelölése egy aláhúzott nulla. Általában meg kell különböztetni az alaptest nullelemétől; csak egydimenziós vektorterekben tekinthetők megegyezőknek. Kezdő- és végpontja egybeesik, irányt nem lehet neki tulajdonítani.

Példák

• A valós számok $\mathbb {R}$ fölötti vektorterében a nulla szám nullvektor.
• A komplex számok $\mathbb {C}$ vektorterében a $0+0i$ szám a nullvektor, ami szintén megfelel a nulla skalárnak.
• A $K^{n}$ koordinátatérben a nullvektor a $(0_{K},\ldots ,0_{K})$ n-es, ahol az összes koordináta a test nulleleme.
• A $K^{m\times n}$ mátrixtérben a nullelem a nullmátrix, ami az alaptest nullelemével van kitöltve.
• A sorozatok ${\mathbb {K} }^{\mathbb {N} }$ vektorterében a $(0_{\mathbb {K} },0_{\mathbb {K} },\ldots )$ sorozat a nullvektor. Nem tévesztendő össze az analízisben használt nullsorozattal.
• Adva legyen egy $A$ halmaz, és egy $W$ vektortér. Tekintjük azokat a függvényeket, melyek az $A$ halmazból a $W$ vektortérbe mennek. Ezek a függvények vektorteret alkotnak, melynek nullvektora az $f\equiv 0_{W}$ függvény, ahol $0_{W}$ a célvektortér nullvektora.

Tulajdonságok

Egyértelműség

Egy vektortér nullvektora egyértelmű. Ha egy vektortérben adva van két nullvektor, akkor vizsgálhatjuk az összegüket:

$0=0+{\bar {0}}={\bar {0}}$

ebből azonnal adódik a vektorok egyenlősége.

Skalárral szorzás

Minden $\alpha \in K$ skalárra teljesül, hogy:

$\alpha \cdot 0_{V}=0_{V}$

és hasonlóan, a vektortér minden $v\in V$ vektorára:

$0_{K}\cdot v=0_{V}$,

ami közvetlenül adódik a két disztributivitásból az $\alpha =\beta =0_{K}$, illetve $u=v=0_{V}$ helyettesítésekből. Ezzel együtt teljesül, hogy:

$\alpha \cdot v=0_{V}\Leftrightarrow \alpha =0_{K}$ vagy $v=0_{V}$,

mivel abból, hogy $\alpha \cdot v=0_{V}$ következik, hogy $\alpha =0_{K}$ vagy $\alpha \neq 0_{K}$, továbbá $v=\alpha ^{-1}\cdot 0_{V}=0_{V}$.

Speciális terek

Normált vektorterekben a nullvektor normája nulla, és a nullvektor az egyetlen ilyen vektor. Ez következik a norma definitségéből és abszolút homogenitásából. Félnormával ellátott terekben több vektor is lehet nulla normával.

Skalárszorzatos vektorterekben a nullvektor ortogonális a tér összes vektorára, vagyis minden $v\in V$ esetén

$\langle 0_{V},v\rangle =\langle v,0_{V}\rangle =0_{K}$,

ami következik a skalárszorzat linearitásából, illetve szemilinearitásából. Speciálisan, a nullvektor ortogonális önmagára, és - a skalárszorzat definitsége miatt - az egyetlen ilyen vektor a vektortérben.

Egy további speciális eset a pszeudoskalárszorzatos vektortereké, melyekben a pszeudoskalárszorzat egy nem feltétlenül pozitív definit bilineáris, komplex terekben szeszkvilineáris forma. Ezt az elméleti fizikában metrikának nevezik. A nulla normájú vektorok alkotják a tér nullkúpját. Fizika szempontjából fontos a Minkowski-tér, ahol ezek a vektorok fényszerűek, és a nullkúp a fénykúp hiperfelülete.

Egy nem feltétlenül pozitív definit $\Psi$ kvadratikus alakkal ellátott valós vektortérben izotrópnak nevezik azokat a $v$ vektorokat, ahol $\Psi (v)=0$. Az izotróp vektorok halmaza izotróp kúp, vagy nullkúp. A $\Psi (v):=v\cdot v$ mennyiséget szintén nevezik pszedudoskalárszorzatnak.

Vektoriális szorzás

A háromdimenziós $V=\mathbb {R} ^{3}$ euklideszi vektortérben tetszőleges vektor és a $0\in \mathbb {R} ^{3}$ nullvektor vektoriális szorzata szintén nulla:

$v\times 0=0\times v=0$.

Speciálisan, a nullvektor vektoriális szorzata önmagával:

$v\times v=0$

A Jacobi-azonosság is teljesül, azaz három vektorból páronként ciklikusan képzett skalárszorzatok összege a nullvektor:

$u\times (v\times w)+v\times (w\times u)+w\times (u\times v)=0$.

Alkalmazások

Lineáris kombinációk

Egy $(v_{i})_{i\in I}$ vektorcsalád, ahol $I$ indexhalmaz, a nullvektor kifejezhető lineáris kombinációként:

$0_{V}=\sum _{i\in I}\alpha _{i}\cdot v_{i}$

A vektorcsalád, illetve elemei lineárisan függetlenek, ha a nullvektor csak egyféleképpen fejezhető ki lineáris kombinációként, mégpedig úgy, hogy $\alpha _{i}=0_{K}$ minden $i\in I$ indexre. Mivel a nullvektor lineárisan függ önmagától, ezért nem lehet lineárisan független vektorcsalád eleme, így nem tartalmazhatja bázis sem.

Egy vektortér alterei mindig tartalmazzák a nullvektort; a legkisebb altér egyedül a nullvektorból áll, ez a nullvektortér. Ennek a bázisa az üres halmaz, mivel vektorok üres összege definíció szerint a nullvektor:

$\sum _{i\in \emptyset }v_{i}=0_{V}$.

Lineáris leképezések

Legyenek $V$, $W$ vektorterek ugyanazon $K$ test fölött! Ekkor, ha $T\colon V\to W$ lineáris leképezés, akkor a nullvektort a nullvektorra képezi le:

$T(0_{V})=T(0_{K}\cdot 0_{V})=0_{K}\cdot T(0_{V})=0_{W}$.

A $W$ vektortér nullvektorára a $V$ vektortér több vektora is leképeződhet. Ezek a vektorok alteret alkotnak, a lineáris leképezés magterét. Egy lineáris leképezés injektív, ha magtere csak a nullvektorból áll.

Lineáris egyenletrendszerek

Egy homogén lineáris egyenletrendszer:

$T(v)=0_{W}$

mindig megoldható, hiszen $v=0_{V}$ mindig megoldás. Ezt a megoldást triviálisnak nevezzük. Csak a triviális megoldás létezik, ha a $T$ lineáris leképezés magja csak a nullvektor.

Ezzel szemben egy inhomogén lineáris egyenletrendszernek:

$T(v)=w$, $w\neq 0_{W}$

sosem megoldása a nullvektor. Egyértelmű megoldása akkor van, ha a hozzá tartozó homogén lineáris egyenletrendszernek csak a triviális megoldása létezik. Ez következik a szuperpozíciós tulajdonságból.

Forrás

• Gilbert Strang. Lineare Algebra. Berlin u. a.: Springer (2003. május 5.) 

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Nullvektor című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.