Főideálgyűrű
A matematikában, azon belül a gyűrűelméletben a főideálgyűrű olyan integritási tartomány, amelyben minden ideál főideál, azaz egyetlen elem generálja. A főideálgyűrű kifejezést az angol principal ideal domain elnevezés alapján gyakran PID-nek rövidítik.
Bizonyos szövegekben főideálgyűrű alatt olyan gyűrűt (és nem feltétlenül integritási tartományt) értenek, amiben minden ideál főideál. Ebben az esetben az angol principal ideal ring alapján a PIR rövidítés használatos. Ebben a szócikkben főideálgyűrűk alatt mindig integritási tartományt értünk.
A főideálgyűrűk az egész számok közeli általánosításai: igaz bennük a számelmélet alaptétele és bármely két elemnek van legnagyobb közös osztója, habár azt nem feltétlenül lehet euklideszi algoritmussal előállítani. (Az olyan gyűrűt, amikben az euklideszi algoritmus működik, euklideszi gyűrűnek nevezzük; minden euklideszi gyűrű főideálgyűrű.)
Példák[szerkesztés]
- Bármely test.
- A polinomgyűrű, ahol test. A megfordítás is igaz: ha PID, akkor test.
- Az egész számok gyűrűje.
- A Gauss-egészek gyűrűje.
- Az Eisenstein-egészek gyűrűje, ahol primitív harmadik egységgyök.
- Bármely diszkrét értékelésgyűrű, például a p-adikus egészek gyűrűje.
![{\displaystyle K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb4d802ca5718a14dc961af8692f35cdfad169b)
![{\displaystyle A[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40abd94a808a2369931fac9811cbd1cbdd44497d)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7)
Nem főideálgyűrűk a következők:
- A polinomgyűrűben a ideál nem generálható egyetlen elemmel.
- A polinomgyűrű ( test): az ideál nem generálható egyetlen elemmel.
![{\displaystyle \mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a538d203a057d4c604f799c28e9a7be410fdcac)
![{\displaystyle K[X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2831c8f2657a8b1bdafa8a3fea479694f0b004a)
Tulajdonságok[szerkesztés]
- Ha PID és , akkor a legnagyobb közös osztójuk az ideál generátorelemeként kapható meg.
- Minden alaptételes gyűrű (UFD) főideálgyűrű, de a megfordítás nem igaz: UFD, de nem PID.
- Minden főideálgyűrű Dedekind-gyűrű, ugyanis Noether-tulajdonságú, minden nemnulla prímideál maximális (ennek megfordítása általánosan is igaz) és egészre zárt.
- Egy integritási tartomány akkor és csak akkor PID, ha minden prímideál főideál.
- A főideálgyűrűk pontosan az alaptételes Dedekind-gyűrűk.
További információk[szerkesztés]
Fordítás[szerkesztés]
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Principal ideal domain című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
