Ciklikus konjugált

Legyen K véges test, és R ≤ K ennek egy részteste (tehát K|R, azaz K az R egy bővítése). Tehát az $a\in K$ elem ciklikus konjugáltjai $a^{|R|^{0}}=a,a^{|R|^{1}},\dots ,a^{|R|^{dg(K|R)-1}}$ . Természetesen mivel d-1 általában nagyobb (egészen pontosan, ha c a ciklikus rend, c|d teljesül, ld. itt), mint a ciklikus rend, ezért a ciklikus konjugáltak nem mind különböző elemek.

Ha a ciklikus asszociáltak olyan véges sorozatát vesszük, mely – kivételesen a 0-t is a szóba jövő indexek közé számítva – az első $d:=log_{|R|}(|K|)=dg(K|R)$ db. $j\in \left\{0,2,\dots ,d-1\right\};$ indexű asszociáltat tartalmazza, akkor az R résztestre vonatkozó ciklikus konjugáltakról (röviden konjugáltakról) beszélünk.

Konjugált és karakterisztikus polinom

Az a∈K elem R≤K résztestére vonatkozó (ciklikus) konjugált polinomjának nevezzük az $x-a^{|R|^{j}}\ ,\ j\in \left\{0,1,\dots ,dg(K|R)-1\right\}$ alakú elsőfokú polinomokat (tehát azokat az elsőfokú, 1 főegyütthatójú vagyis főpolinomokat, melyek konstans tagja az elem egy R-re vonatkozó konjugáltja).

Az elem R résztestre vonatkozó karakterisztikus polinomjának a konjugált polinomok szorzatát nevezzük (pontosabban ezek sorozatának szorzatát, hiszen mivel a konjugált elemek nem különbözőek, ezért a konjugált polinomok sem, valójában mindegyik dg(K|R)/c_R(a)-szor szerepel a szorzatban):

$k_{R}(a)[x]=\prod _{j=0}^{dg(K|R)-1}\left(x-a^{|R|^{j}}\right)$.

Tehát (alternatív definíció) ez az a K[x]-beli polinom, melynek K-beli gyökei pontosan az a elem ciklikus konjugáltjai.

A karakterisztikus polinom az elem minimálpolinomjának hatványa, ha e polinom $m_{R}^{a}[x]=m$, akkor $k_{R}^{a}[x]=m^{\frac {dg(K|R)}{dg(m)}}=m^{\frac {dg(K|R)}{c_{R}(a)}}$ (figyelembe véve, hogy m[x] irreducibilis R-ben, ezért foka K-beli gyökének, a-nak ciklikus rendje) .

Belátható (például az előbbi megállapításra alapozva), hogy e polinom minden együtthatója R-beli, vagyis ez egy R test feletti (R[x]-beli) polinom. Speciális esetként az a elem konjugáltjai összege és szorzata is együtthatója e polinomnak, tehát egy elem R-re vonatkozó konjugáltjainak összege és szorzata R-beli.

Elem nyoma

Az $a\in K$ elem R≤K résztestére vonatkozó nyoma ciklikus konjugáltjainak összege:

$T\!r_{R}(a)=T\!r_{K|R}(a)=\sum _{j=0}^{dg(K|R)-1}a^{|R|^{j}}$

.

(A Tr rövidítés az angol trace = nyom szóból keletkezett. Használatos még az S_R(a) jelölés is, ez a német Spur = nyom szó kezdőbetűje).

Ha R a K test prímteste, akkor abszolút nyomról, röviden csak nyomról beszélünk.

A nyom fontosabb tulajdonságai, ha a,b∈K és α∈R:

1. $T\!r_{R}(a+b)=T\!r_{R}(a)+T\!r_{R}(b)$ ;
2. $T\!r_{R}(\alpha a)=\alpha \cdot T\!r_{R}(a)$ ;
3. $T\!r_{R}(\alpha )=dg(K|R)\cdot \alpha$ ;
4. $T\!r_{R}(a^{|R|})=T\!r_{R}(a)$ ;
5. A Tr_R(x) : K→R függvény a K test R-re való lineáris leképezése.
6. Ha K|R|S, és $a\in K$, akkor $T\!r_{K|S}(a)=T\!r_{R|S}(T\!r_{K|R}(a))$ (Láncszabály).

Források

• Gonda János: Véges testek. Budapest, 2011